كيف تقيم تكامل sin^2(x)cos^3(x)؟

يتم تقييم التكامل غير المحدود لـ sin^2(x)cos^3(x) عن طريق فصل عامل جيب التمام، واستخدام متطابقة فيثاغورس cos^2(x) = 1 - sin^2(x)، وتطبيق التعويض بـ u = sin(x)، مما ينتج عنه (1/3)sin^3(x) - (1/5)sin^5(x) + c.

تكامل sin^2(x)cos^3(x) – الاشتقاق، الصيغة والأمثلة

الاشتقاق والتقييم

قيم التكامل:

\[ \int \sin^2(x) \cos^3(x) \, dx \]

أعد كتابة التكامل عن طريق فصل عامل جيب تمام منفرد:

\[ = \int \sin^2(x) \cos^2(x) \cos x \, dx \]

استخدم المتطابقة المثلثية \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) وعوض بها:

\[ = \int \sin^2(x) (1 - \sin^2(x)) \cos x \, dx \]

افرد دالة التكامل:

\[ = \int (\sin^2(x) - \sin^4(x)) \cos x \, dx \]

استخدم التكامل بالتعويض: ليكن \( u = \sin x \)، مما يعطي \( du = \cos x \, dx \). التعويض عن ذلك ينتج:

\[ = \int (u^2 - u^4) \, du \]

استخدم صيغة التكامل القياسية \( \int u^n \, du = \dfrac{1}{n+1} u^{n+1} + c \) لتقييم التكامل:

\[ \dfrac{1}{3} u^3 - \dfrac{1}{5} u^5 + c \]

حيث \( c \) هو ثابت التكامل.

عوض مرة أخرى بـ \( u = \sin x \) للحصول على الإجابة النهائية:

صيغة التكامل لـ \( \sin^2(x)\cos^3(x) \):

\[ \int \sin^2(x) \cos^3(x) \, dx = \dfrac{1}{3} \sin^3 x - \dfrac{1}{5} \sin^5 x + c \]

تكامل \( \sin^2(x) \cos^3(x) \)

الاشتقاق والتقييم

المزيد من المراجع والروابط